Mikä On Topologia?

{h1}

Topologia on matematiikan haara, joka kuvaa matemaattisia tiloja, erityisesti ominaisuuksia, jotka johtuvat avaruuden muodosta.

Topologia on matematiikan haara, joka kuvaa matemaattisia tiloja, erityisesti ominaisuuksia, jotka johtuvat avaruuden muodosta. Monet muodot topologistit käsittelevät ovat uskomattoman oudolta, niin paljon, että käytännöllisesti katsoen kaikki arkiset esineet kuten kulhot ja lemmikit ja puut muodostavat pienen vähemmistön. Sana "topologia" on peräisin kreikan sanasta paikka (Topos) ja opiskella (-logy).

Topologia on tärkeä oppaan useilla tutkimusalueilla:

  • Teoreettinen fysiikka (erityisesti kvanttimekaniikan seuraajia, kuten kvanttikenttäteoria ja jousiteoria)
  • Kosmologia (maailmankaikkeuden muodon määrittämiseksi)
  • Biologia (DNA: n sekoittumiseen ja elinten ja muiden ruumiinosien kasvun ennustamiseen)
  • Tietojenkäsittelytieteet (tietojoukkojen laajamittaisen rakenteen määrittämiseksi)
  • Robotics (jossa robottivarren liikkeitä suunnitellaan tilan muodon perusteella, jolla on useita ulottuvuuksia, jotka ovat yhtä suuret kuin käsivarsien nivelet)

Jatkuva muodonmuutos

Topologisti tutkii muodon ominaisuuksia, erityisesti sellaisia, jotka säilyvät muodon jälkeen kiertyneinä, venytettyinä tai muodonmuutoksina. Tämä sallittujen muutosten luettelo sopii kaiken matemaattisen ajatuksen alla jatkuva muodonmuutos, mikä tarkoittaa suunnilleen "venyttelyä, mutta ei repeämistä tai sulautumista". Esimerkiksi ympyrä voidaan vetää ja venyttää ellipsiin tai jotain monimutkaista, kuten käden painon ääriviivoja. Katkeruus ja sulautuminen aiheuttavat sen, mitä tunnetaan epäjatkuvuuksia, joten he eivät ole sallittuja.

Kaksi kohdetta, jotka voidaan venyttää samaan muotoon, kuvataan nimellä homeomorphic, latinankielisestä kreikasta "samanlainen" (homeo-) ja kreikan "muoto, muoto tai kuva" (morphe). Tämän linssin kautta käytännöllisesti katsoen kaikki arkiset esineet ovat homeomorfisia pallo (pallo) tai muutamia torus (donitsi).

Käytännöllisesti katsoen jokainen arjen esine, kun se altistuu jatkuvalle muodonmuutokselle, vähenee vain muutamiin topologisiin muotoihin.

Käytännöllisesti katsoen jokainen arjen esine, kun se altistuu jatkuvalle muodonmuutokselle, vähenee vain muutamiin topologisiin muotoihin.

Luottamus: Robert J. Coolman

Jotkut topologiset haarat mahdollistavat objektin kulkevan itseensä samalla, kun sitä venytetään; toiset eivät. Kun tarkastellaan pintaa, joka voida kulkea itseensä, on tärkeää, ettei pintaa pintaa äärettömän tiukka, koska se lisää myös epäjatkuvuutta. Tämä tavataan yleensä silloin, kun pinta kaksinkertaistuu itsestään, esimerkiksi kun yrittää kääntää palloa ulos (mikä on vaikeaa, mutta mahdollista).

Euler Characteristic

Yksi esimerkki ominaisuudesta, joka ei muutu jatkuvan muodonmuutoksen aikana, on esine Euler-ominaisuus, jonka nimi on Leonhard Euler, 18thSaksan matemaatikko.

Osoittamalla esineen Euler-ominaisuuden, otta- me ensin pallon (tai homeomorfisen kohteen, jolla on pallo, kuten ihmispää) ja laatoitetaan pinta polygoneilla. Sitten lasketaan kasvojen (sivut), reunojen (paikat, joissa kaksi puolta kohtaavat) ja pisteet (paikat, joissa kolme tai useampia sivuja kohtaavat). Lisää nyt kasvoja (F) ja pisteet (V) ja vähennä reunojen lukumäärää (E): F + V - E. Sillä ei ole väliä kuinka jakaa pinnalle; vastaus tulee aina samaan: kaksi. Koska viisi platonista kiintoainetta (3-D-muodot, jotka on tehty yhdestä tavallisesta monikulmion muotoisesta) ovat kaikki homomorfisia palloon, niillä kaikilla on myös kaksi Euler-ominaisuutta.

Kaikilla platonisilla kiintoaineilla on kaksi Euler-ominaisuutta.

Kaikilla platonisilla kiintoaineilla on kaksi Euler-ominaisuutta.

Luottamus: Robert J. Coolman

Voimme olla järkeviä, miksi Euler-ominaisuus säilyy, jos ajattelemme sitä, mikä tarkoittaa lisätä reunaa tai huippupistettä. Reunojen lisääminen kahden pisteen väliin jakaa yhden kasvot kahteen: reunat lisäävät yhtä, kasvot kasvavat yksi ja pisteet pysyvät samoina. Samoin vertexin lisääminen reunaan jakaa reunat kahteen: reunat lisäävät yhtä, kärjet kasvavat yksi, ja kasvot pysyvät samoina.

Nyt laita torsun pinta, laske F, V ja E, ja saat Euler-ominaisuuden nollaan. Tässä on esimerkki:

Esimerkki tori-polyhedronista. Kuten kaikkien torien kohdalla, Euler Characteristic (F + V - E) on nolla. Tässä tapauksessa F = 16, V = 16 ja E = 32.

Esimerkki tori-polyhedronista. Kuten kaikkien torien kohdalla, Euler Characteristic (F + V - E) on nolla. Tässä tapauksessa F = 16, V = 16 ja E = 32.

Luottamus: Robert J. Coolman

Kun kaksois torus, Euler-ominaisuus on negatiivinen kaksi; Kolminkertainen torus, negatiivinen neljäs. Jokainen ylimääräinen reikä vähentää Euler-ominaisuutta kahdella.

Ei-suuntautuvat pinnat

Yksi asia, kaikki muodot, joista olemme puhuneet tähän mennessä, ovat yhteisiä, sanotaan orientable. Tämä merkitsee sitä, että ulkopuolisella pinnalla oleva vika pysyy aina ulkona; sama pätee sisäpuolelle. Siellä on myös ei-suunnattavissa pinnat, mikä tarkoittaa, että bugi kulkee pinnalla päätyä molemmille puolille. Tunnetuin esimerkki tästä on Mobius-nauhat (jonka Euler-ominaisuus on nolla, EC = 0).

Mobius-nauha on yksinkertaisin esimerkki ei-suuntautuvasta pinnasta.

Mobius-nauha on yksinkertaisin esimerkki ei-suuntautuvasta pinnasta.

Luottokortti: Esben Oxholm Shutterstock

Vaikka kieli, kuten "Mobius-nauhan molemmat puolet", on hyödyllistä konseptin käyttöönottamiseksi, se on ristiriidassa topologin mielen kanssa, joka sanoo, että mikä tahansa pinta on 2-D, ja niin ovat olennot, jotka asuvat siinä. Tämän objektiivin avulla on hyödyllistä miettiä 2-D-bugia, joka elää itse pinnalla. Suuntaavalle pinnalle on oikeakätisiä vikoja ja vasenkätisiä vikoja, mutta ei-suuntautuville pinnoille, oikea- ja vasenkätiset vikoja ei voida erottaa toisistaan. Tämä korostaa, että Mobius-nauha edustaa tilaa ja olemme kiinnostuneita avaruuden muodon ominaisuuksista.

Perusmallikot

Tällöin pinnan näkökulmasta on 2-D, on tarkoituksenmukaista edustaa topologisia tiloja niiden suhteen perustavanlaatuiset polygonit. Jos haluat muuttaa perustavan monikulmion 2-D-pinnan 3-D-objektiksi, venytä pintaa niin, että vastaavat sivut liittävät nuolien osoittamaan suuntaan. Kuten nähdään, liittyminen yhdensuuntaisiin sivuihin tekee sylinteristä (EC = 0), ja liittyminen yhdensuuntaisiin linjoihin tekee Mobius-nauhan (EC = 0).

Sylinterin ja Mobius-nauhan perusmuodot.Reunat, jotka on merkitty kirjaimilla, liitetään yhteen nuolten osoittamaan suuntaan. Katkoviivat eivät ole yhteydessä toisiinsa.

Sylinterin ja Mobius-nauhan perusmuodot. Reunat, jotka on merkitty kirjaimilla, liitetään yhteen nuolten osoittamaan suuntaan. Katkoviivat eivät ole yhteydessä toisiinsa.

Luottamus: Robert J. Coolman

2-D-bugi, joka lähtee ulos ja nuolivat perusmuuttujan rajan, siirretään toiseen rajaan ja suuntautuu samalla tavoin kuin nuolen suuntaan. Jos vika pysyy samana tai kääntää, ilmaisee, onko pinta päin suuntautuva tai ei-suuntautuva. 2-D-bugi ei saa ylittää pisteviivaa.

2-D-bugi vaeltaa Mobius-nauhan 2-D-pinnalla. Huomaa, miten vika on käännetty sen jälkeen, kun se kulkee kartan ympärillä. Koska oikean- ja vasenkätisen virheen välillä ei ole eroa, pinta ei ole suuntautuva. Virhe ei saa kävellä katkoviivoilla.

2-D-bugi vaeltaa Mobius-nauhan 2-D-pinnalla. Huomaa, miten vika on käännetty sen jälkeen, kun se kulkee kartan ympärillä. Koska oikean- ja vasenkätisen virheen välillä ei ole eroa, pinta ei ole suuntautuva. Virhe ei saa kävellä katkoviivoilla.

Luottamus: Robert J. Coolman

Ensimmäiset muodot, joista puhuimme, ovat myös perustavanlaatuisia monikulmioita. Tehdä tori, ensin tehdä sylinteri, sitten venyttää päät sylinterin, kunnes he kohtaavat. Jos haluat muodostaa pallon, käännä arkki kulmasta nurkkaan kolmiomaisen kirjekuoren muodostamiseksi ja täytä sitä, kunnes se on pallomainen.

Toruksen ja Sferonin perusmuodot.

Toruksen ja Sferonin perusmuodot.

Luottamus: Robert J. Coolman

Mobius-nauhan pisteviivat voidaan yhdistää kahdella eri tavalla, jotta saadaan aikaan kaksi muuta ei-orientoitavaa pintaa: Klein-pullo (EC = 0) voidaan ajatella Mobius-nauhan ja sylinterin väliseksi ristiksi ja rajatylittävää levyä (EC = 1) voidaan ajatella kahden Mobius-nauhan ristikkäksi. Kuten Mobius-kaistalla, jos kartta on kääritty kolmanteen ulottuvuuteen, voimme saada jonkin verran näkökulmaa tilan yleisestä "muodosta". Molemmat rakenteet edellyttävät, että pinnan sallitaan kulkea itseensä. 2-D-bugi ei huomannut tällaista risteystä; vain, että maailma "käännetään" sen jälkeen, kun tiettyjä polkuja on otettu 2-D-tilassa.

Klein-pullon ja ristipäällysteisen levyn perusmuodot. Rajoitettu levy on avattu reunan sisäpuolelle.

Klein-pullon ja ristipäällysteisen levyn perusmuodot. Rajoitettu levy on avattu reunan sisäpuolelle.

Luottamus: Robert J. Coolman

Topologiassa tunnetut ongelmat

Topologia on ollut olemassa vain muutaman vuosisadan ajan, mutta sillä on jo runsaasti historia ongelmia ja osa-alueita, joista jokaisella on oma tarinansa.

  • Seitsemän sillat Königsbergistä: Usein katsotaan ensimmäisen ongelman topologiassa. Vanhassa porsaankaupungissa Königsbergillä oli kerran seitsemän siltaa, ja sen kansa ihmetteli, olisiko mahdollista kulkea tietä, joka kulki jokaisen sillan yli. Vuonna 1735 Euler osoitti, että tällainen tie oli mahdoton.
  • Patterns Palm ja sormenjälkiä: Sormenjäljillä kaikilla on yhteisiä piirteitä, kuten silmukat ja triradii (kolme riviä tulossa yhteen). Vuonna 1965 brittiläinen lääketieteen geenitekijä Lionel Penrose huomautti, että sormenjäljet ​​ja palmu-esitykset noudattavat yleistä sääntöä: kaikkien viiden sormen kanssa syntyneillä on aina neljä muuta triradioa kuin silmukat.
  • Karvainen pallo-lause: Jos pallo (tai pallo, melko) peitetty hiukset, on mahdotonta kampaa kaikki hiukset tasainen. On oltava vähintään yksi paikka, jossa hiukset tarttuvat suoraan ylös.
  • Sphere Eversion: Pallomaiselle pinnalle, jonka annetaan kulkea itsensä läpi, on mahdollista kääntää pallo kokonaan sisään ilman, että se puristaa äärettömän tiukkoja alueita? Se on hankalaa, mutta kyllä.
  • Knot Theory: Knot-teoria on topologian kurinalaisuus, joka käsittelee vain tori-kieltä (plural of torus), jotka eivät voi siirtyä itsensä tai muiden läpi. Solmun teorian pääpaino on selvittää, ovatko kaksi eri näköistä solmua homeomorfisia.
  • Poincarén käsitys: Tässä artikkelissa tarkastelemme vain 2-D-tiloja, mutta myös 3-D-tiloja, jotka yhdistävät outoja tapoja. Ensimmäinen positiivinen 1904-luvun Poincaré-käsitys on näistä 3-D-tiloista, joissa todetaan, että "jokainen yksinkertaisesti yhdistetty, suljettu 3-jakelija on homeomorfinen 3-palloon." Lähes vuosisata myöhemmin, vuonna 2000 Clay Mathematics Institute valitsi seitsemän ratkaisematonta "Millennium-palkinto" -ongelmia, joista 1 miljoona dollaria myönnettäisiin kenelle tahansa löytää ratkaisu. Poincaré-konsepti oli ensimmäinen tällainen ongelma ratkaistava. Venäläinen matemaatikko Grigori Perelman, joka löysi ratkaisun vuonna 2002, laski sekä Millennium-rahapalkinnon että Fields -mitalin (monien mielestä vastaa matematiikan Nobel-palkintoa).

Lisäresurssit

  • Zogg Betelgeuse: No Edge: maailmankaikkeuden muoto
  • Royal Institution: Neljä Dimensional Matemat


Video Täydentää: Imagine Dragons - Believer (8D AUDIO).




FI.WordsSideKick.com
Kaikki Oikeudet Pidätetään!
Jäljentämistä Materiaalien Sallittu Vain Prostanovkoy Aktiivinen Linkki Sivustoon FI.WordsSideKick.com

© 2005–2019 FI.WordsSideKick.com